直杆轴向拉伸与压缩时的变形与应力分析
拉伸与压缩时材料的力学性能
直杆轴向拉伸与压缩时的强度计算
一根螺栓被拧紧会不会被拉断？一根钢丝绳能吊多重？这节课我们就来弄明白：杆子被拉、被压时，里面发生了什么，材料最多能扛多少，怎样算才安全。
🎯 学习目标（学完你能做到）
- 能认出生活和车间里哪些零件是“受拉”或“受压”的。
- 会用截面法（切、取、代、平）求出杆件的内力（轴力）。
- 会用公式 R = FN / A 算出杆件横截面上的应力，并注意单位。
- 能看懂低碳钢和铸铁的拉伸曲线，说出屈服强度、抗拉强度的意思。
- 能按步骤完成低碳钢拉伸实验，并算出断后伸长率 A 和断面收缩率 Z。
- 会求许用应力 [R]，能用强度条件 Rmax = FN/A ≤ [R] 完成强度校核、选择截面、确定许可载荷三类计算。
- 能说出应力集中、温差应力、疲劳破坏是什么，以及车间里怎样预防。
② 知识导入：车间里到处都是“拉”和“压”
先看几个你在实训车间、汽修工位上一定见过的场景：
把两块钢板夹紧，螺栓杆被拉。拧得太狠，螺栓就会被拉长甚至拉断。
汽修吊发动机时，钢丝绳、吊链被拉，吊得越重越危险。
顶起汽车时，千斤顶的顶杆被压；机床立柱也一直被压着。
③ 核心知识讲解
3.1 拉伸与压缩的受力特点和变形特点
受力特点：外力（或外力的合力）沿着杆的轴线作用，一对力大小相等、方向相反。
变形特点：杆件沿轴线方向伸长（拉伸）或缩短（压缩）。
受拉伸或压缩的构件，都可以简化成一根等截面直杆来研究（粗细一样的直杆子）。
小实验观察：在橡皮杆上画方格，一拉，方格变得又长又窄；一压，方格变得又短又胖。横线仍然是直的、和轴线垂直。
3.2 内力与截面法
内力：杆件受外力变形时，材料内部产生的、阻止变形的抵抗力。
截面法：内力藏在杆子里面看不见，就假想把杆子切开，让它“露出来”，再用平衡条件算出它。口诀：
| 口诀 | 做什么 |
|---|---|
| ① 切 | 在要求内力的位置，假想用一刀横着切开杆件。 |
| ② 取 | 留下任意一段（左段或右段）作研究对象，另一段扔掉。 |
| ③ 代 | 扔掉那段对留下段的作用，用内力 FN 代替。 |
| ④ 平 | 列平衡方程 ΣFx=0，算出 FN。 |
正负号：FN 背离截面（拉）为正 +；指向截面（压）为负 −。
3.3 应力：衡量“危险程度”的尺子
应力：单位面积上的内力。拉压杆横截面上只有正应力（垂直于截面），而且均匀分布。
正负号：拉应力为正，压应力为负。公式只适用于轴向拉压杆（力沿轴线）。
题目：圆截面杆直径 d = 40 mm，受拉力 F = 60 kN。杆中间一段开了一个宽 10 mm 的通槽，求杆横截面上的最大正应力。
① 求轴力：整根杆只两端受力，各截面轴力都相等：FN = F = 60 kN = 60000 N。
② 找危险截面：轴力处处一样，但开槽段面积最小，所以应力最大的地方在开槽段。
③ 算开槽段面积（槽削掉的部分近似看成矩形 40×10）：
A = πd²/4 − 40×10 = 3.14×40²/4 − 400 ≈ 1256 − 400 = 856 mm²
④ 算最大正应力：
Rmax = FN/A = 60000 / 856 ≈ 70.1 MPa（拉应力）
3.4 变形计算：胡克定律（了解）
在弹性范围内（松手能恢复原样），杆的伸长量和受力成正比：
- 力 FN 越大 → 伸得越长
- 杆越长 l → 伸得越长
- 材料越硬 E → 伸得越短
- 杆越粗 A → 伸得越短
注意：超过弹性范围（屈服以后），胡克定律就不能用了！
3.5 材料的力学性能与拉伸试验
力学性能：材料受外力时表现出来的“本事”，比如能扛多大力、断之前能拉多长。通过拉伸试验测出来。
试验条件：常温（20 ℃）、静载（力均匀缓慢地加上去）；依据国标 GB/T 228.1—2010；设备：万能材料试验机。
两大类材料：
| 类别 | 特点 | 代表 |
|---|---|---|
| 塑性材料 | 断之前能被拉长很多（“有韧性”） | 低碳钢（Q235）、铜、铝 |
| 脆性材料 | 几乎没变形就“啪”一下断了 | 铸铁、石料、混凝土 |
3.6 低碳钢拉伸曲线：四个阶段（重点！）
| 阶段 | 看得见的现象 | 对应指标（大白话） |
|---|---|---|
| ① 弹性阶段 | 近似直线，伸长量和拉力成正比；松开能完全恢复。 | 服从胡克定律。 |
| ② 屈服阶段 | 曲线呈锯齿状，力几乎不增加，试样却一直“自己变长”，表面可能出现斜纹（滑移线）。 | 上屈服强度 ReH：屈服前第一个峰值对应的应力； 下屈服强度 ReL：舍去第一个谷值后，其余谷值中最小力对应的应力。 工程上常用 ReL 作塑性材料的“极限”。 |
| ③ 强化阶段 | 材料“缓过劲来”，又能承受更大的力，到最高点 b。 | 抗拉强度 Rm = Fm/S0：试样能承受的最大拉力对应的应力。 |
| ④ 颈缩阶段 | 试样某处突然变细像脖子（颈缩），力下降，最后在颈部拉断。 | 断口呈“杯锥状”，属于韧性断裂。 |
3.7 压缩时的力学性能 & 断口对比
低碳钢压缩：上、下屈服强度和拉伸时基本相同；屈服以后越压越扁，只会压扁，不会断裂，所以测不出抗压强度。
铸铁：拉、压都没有屈服和颈缩，Rm（抗拉）很低；但抗压强度远大于抗拉强度。
3.8 塑性指标与冷作硬化
塑性：材料抵抗永久变形而不断裂的能力。大白话：能被拉长、弯折多少还不断。
冷作硬化：常温下把钢材拉过屈服阶段，卸载后再加载，材料的比例极限提高、塑性降低。
好处：钢筋、链条、冷轧钢板用它提高承载能力。
坏处：塑性变差，不利于零件后续再加工（变硬变脆、难切削、易开裂）。
3.9 载荷与失效
载荷：机械工作时，零件所承受的力或力矩，或者由力和力矩组成的联合载荷。
- 静载荷：大小、方向不随时间变化或变化很慢（如：机床床身承受的自重）。
- 动载荷：大小或方向随时间变化（如：发动机连杆、汽车悬架弹簧）。
- 名义载荷：根据动力机的额定功率 P（kW）和额定转速 n（r/min）计算出的载荷。
失效：零件丧失工作能力或达不到要求的性能。主要形式有 4 种 →
3.10 应力的类型：静应力与变应力
静应力：外力不随时间变化，内部应力大小不变。只能在静载荷下产生。
变应力：外力随时间周期性变化，内部应力也周期性变化。可能由变载荷产生，也可能由静载荷产生（如：转动的轴上某一点，一会儿受拉、一会儿受压）。
循环应力包括三种：
| 类型 | 特点（大白话） | 例子 |
|---|---|---|
| 对称循环 | 拉、压一样大，来回交替 | 转动的车轴 |
| 脉动循环 | 从 0 到最大，再回到 0 | 齿轮轮齿、反复拧紧 |
| 非对称循环 | 最大、最小不对称 | 发动机连杆、螺栓 |
3.11 许用应力与安全系数（重点）
极限应力：材料丧失正常工作能力时的应力。塑性材料的极限应力是下屈服强度 ReL（一屈服就变形报废）；脆性材料的极限应力是抗拉强度 Rm（没有屈服，直接断）。
应力接近极限应力就处于危险状态。为了留出强度储备，用极限应力除以一个大于 1 的安全系数 S，得到工作时允许的最大应力——许用应力 [R]。
1. 为什么要 S＞1？构件承受的载荷难以估计准确；计算方法有近似；实际材料材质不均匀……都需要留余量。
2. 为什么 S 要合理确定？S 是解决安全与经济矛盾的关键：S 取得过大，[R] 过低，浪费材料、不经济；S 取得过小，[R] 过高，虽然省料，但不安全。
3. 思考：为什么脆性材料的 S 要比塑性材料大？脆性材料断裂前没有明显变形，没有“预警”，一断就是突然断；塑性材料会先屈服、伸长，能被及时发现。所以脆性材料要留更多储备。
3.12 拉伸与压缩时的强度条件（核心公式）
为了保证构件安全可靠地工作，必须使构件的最大工作应力不超过材料的许用应力：
已知 FN、A、[R]
算 Rmax = FN/A
看是否 ≤ [R]
已知 FN、[R]
A ≥ FN / [R]
再由 A 求直径 d
已知 A、[R]
FN ≤ A·[R]
再由 FN 求外力
3.13 例题精讲
① 分段求轴力（截面法，取右段）：
BC 段（2—2 截面）：FN2 = F2 = +12 kN（拉）
AB 段（1—1 截面）：FN1 = F2 − F1 = 12 − 30 = −18 kN（压）
② 分段求应力：
R2 = FN2/A2 = 12000 ÷ 80 = 150 MPa（拉）
R1 = FN1/A1 = −18000 ÷ 150 = −120 MPa（压）
③ 比较：|R2| ＞ |R1|，所以最大正应力在 2—2 截面（BC 段），Rmax = 150 MPa。
启示：AB 段轴力更大（18 kN ＞ 12 kN），但 BC 段更细，应力反而更大——危险截面不一定在力最大的地方！
(1) 求 C′D 杆受的最大外力：取横梁 AB 为研究对象，载荷在 B 端时对 A 点取矩 ∑MA = 0：
FC′·sinα·LAC + FC′·cosα·LCC′ − G·(LAC + LBC) = 0
代入数据：FC′ ×（570 + 130）= 70 × 1500，得 FC′ ≈ 150 kN
(2) 求轴力：C′D 为二力杆，FN = FC′ = 150 kN（拉）
(3) 校核强度：[R] = ReL/S = 235/2.0 = 117.5 MPa
A = π(D² − d²)/4 = 3.14 ×（60² − 40²）/4 = 1570 mm²
Rmax = FN/A = 150×10³ ÷ 1570 ≈ 95.5 MPa ＜ [R]
结论：斜拉杆 C′D 的强度足够。
延伸（许可载荷）：FN ≤ A[R] = 1570 × 117.5 ≈ 184.5 kN，对应载荷在 B 端时 G ≤ 184.5 × 700 ÷ 1500 ≈ 86 kN。
3.14 应力集中与温差应力
应力集中：截面尺寸突然变化处（轴肩、开槽、钻孔、螺纹），局部应力显著增大的现象。它使零件破坏的危险性增加，这些地方也常是危险截面。
温差应力（热应力）：温度变化使构件伸长或缩短，而伸缩受到限制时，构件内部就产生应力。例：北方的热水管、铁轨。所以要留伸缩缝、设膨胀节。
3.15 变应力与疲劳强度
疲劳破坏：材料在交变应力作用下的破坏。工程中很多零件（轴、齿轮、弹簧、连杆、螺栓）都是因疲劳而坏的。
- 破坏时的应力一般低于静载荷下的强度极限，有时甚至低于屈服强度。
- 断裂前要经过多次应力循环。
- 不论塑性还是脆性材料，都表现为脆性断裂，无明显塑性变形（没有预警！）。
- 断口明显分为光滑区（裂纹慢慢扩展、被反复磨光）和粗糙区（最后一下突然断开）。
- 材料屈服强度越高，疲劳强度越高；
- 应力集中使疲劳强度降低；
- 表面质量越高（粗糙度值越小），疲劳强度越高；
- 零件尺寸越大，内部缺陷越多，疲劳强度越低。
④ 实操技能：低碳钢拉伸试验
- 万能材料试验机（含楔形夹头）
- 低碳钢 Q235 圆形标准试样（d₀=10 mm，L₀=100 mm）
- 游标卡尺（精度 0.02 mm）、划线笔 / 标距打点器
- 护目镜、防护手套、记录表
试样拉断时会“砰”地弹出碎块，加载时人员不准站在试样正前方、不准用手触碰试样和夹头；未经老师允许不得开机。
- 测直径：在标距两端和中间共 3 处，每处在互相垂直方向各量一次取平均，取 3 处中最小值作为 d₀，计算 S₀ = πd₀²/4。
- 标标距：在试样中段量出 L₀ = 100 mm，轻轻划线或打点做记号（不要划太深，以免成为裂口）。
- 检查设备：确认试验机油泵、限位、急停按钮正常，量程选择合适（约为预计最大力的 1.5～2 倍）。戴好护目镜。
- 装夹试样：先夹上端，再调横梁夹下端；夹持部分要全部夹进夹头，试样要对正、竖直，否则力不沿轴线，试验无效。装夹时手不能放在夹头之间。
- 调零：力值、位移（或曲线记录）全部清零。
- 缓慢加载：按静载要求均匀缓慢加力，严禁猛加。加载过程中人员退到侧面安全位置。
- 观察记录：注意屈服阶段指针“停顿/回摆”，记录 FeH、FeL；继续加载记录最大力 Fm；观察颈缩出现的位置。
- 断裂与停机：试样拉断后立即停机卸载，等设备完全停止再取下断样，小心断口毛刺划手。
- 测断后尺寸：把两段断口紧密对接，量出断后标距 Lu；在断口最细处量 du，算 Su。
- 计算填表：ReL = FeL/S₀，Rm = Fm/S₀，A = (Lu−L₀)/L₀×100%，Z = (S₀−Su)/S₀×100%；整理设备，清扫台面。
| 项目 | 符号 | 测量/计算值 | 单位 |
|---|---|---|---|
| 原始直径 | d₀ | ______ | mm |
| 原始截面积 | S₀=πd₀²/4 | ______ | mm² |
| 原始标距 | L₀ | 100 | mm |
| 下屈服力 / 最大力 | FeL / Fm | ______ / ______ | N |
| 下屈服强度 / 抗拉强度 | ReL / Rm | ______ / ______ | MPa |
| 断后标距 / 断口直径 | Lu / du | ______ / ______ | mm |
| 断后伸长率 / 断面收缩率 | A / Z | ______ / ______ | % |
参考：Q235 的 ReL 约 235 MPa，A 一般在 20% 以上。若算出 A 只有几个百分点，先检查 Lu 是否对接测量。
实操技能二：强度计算“四步法”（以例 2-2 吊车拉杆为例）
- 求外力：画受力图，列平衡方程求出杆件受的外力（例：∑MA=0 → FC′ = 150 kN）。载荷位置要取最危险的情况（葫芦在 B 端）。
- 求轴力、找危险截面：用截面法求 FN；等截面杆找 FN 最大处，变截面杆逐段算 R 再比较（例：二力杆 FN = 150 kN）。
- 定许用应力：塑性材料 [R] = ReL/S，脆性材料 [R] = Rm/S（例：235/2.0 = 117.5 MPa）。
- 代入强度条件并下结论：Rmax = FN/A ≤ [R]。单位统一成 N、mm²、MPa；选截面时直径向大取整，求许可载荷时向小取整；最后必须写出“强度足够/不够”的结论。
⑤ 常见误区 & 易错坑点
✔ 应力 = 内力 ÷ 面积。面积变小（开槽、钻孔、变细）的地方，就算力一样，应力也会变大。找危险截面要力和面积一起看。
✔ 先把 kN 换成 N（×1000），N ÷ mm² 才等于 MPa。
✔ A = πd²/4 = πr²。
✔ 统一先把 FN 画成“背离截面”（设为拉），算出来是负数就说明是压力。
✔ 最高点是抗拉强度 Rm；屈服强度 ReL 在锯齿段，比 Rm 低。零件设计一般以 ReL 为准，因为一屈服零件就“变形报废”了。
✔ 铸铁“抗压不抗拉”，只适合受压零件，做拉杆、吊钩非常危险。
✔ 必须把两段断口对紧拼接后，再量原来两个标距记号之间的距离。
✔ 夹歪了力就不沿轴线，会额外产生弯曲，测出的数据不准，还容易打滑弹出伤人。
✔ S 太大，[R] 过低，零件做得又粗又重，浪费材料；S 要在“安全”和“经济”之间合理选取。
✔ 脆性材料没有屈服，极限应力用抗拉强度 Rm；塑性材料才用 ReL。
✔ 截面尺寸要向大取整（取 16 mm），许可载荷要向小取整，否则就不安全了。
✔ 在交变应力下，塑性材料也会发生没有明显变形的“脆性”疲劳断裂，所以要定期探伤检查。
⑥ 课堂小练习
选好答案后点“提交”，立刻显示对错和解析。全部离线运行。
⑦ 小结（记住这几条就够了）
- 受力特点：外力沿轴线；变形特点：沿轴线伸长或缩短。
- 内力（轴力 FN）用截面法求：切、取、代、平；拉为正，压为负。
- 应力 R = FN/A，单位 MPa（=N/mm²），截面上均匀分布。
- 弹性范围内服从胡克定律：Δl = FNl/(EA)，钢 E≈200 GPa。
- 低碳钢拉伸四阶段：弹性 → 屈服 → 强化 → 颈缩断裂；指标 ReH、ReL、Rm。
- 低碳钢压缩只压扁不断；铸铁抗压强、抗拉弱，宜作受压件。
- 塑性指标：断后伸长率 A、断面收缩率 Z；A>5% 为塑性材料。
- 冷作硬化：强度↑、塑性↓，可提高承载但不利于再加工。
- 许用应力：塑性 [R]=ReL/S（S=1.2～1.5），脆性 [R]=Rm/S（S=2～3.5）。
- 强度条件 Rmax = FN/A ≤ [R]：可做强度校核、选择截面、确定许可载荷三类计算。
- 危险截面看力和面积两方面；轴肩、孔、槽处有应力集中；伸缩受限会产生温差应力。
- 疲劳破坏：应力低于强度极限也会断，断前无明显变形，断口分光滑区和粗糙区。